Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥2x恒成立，
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）求y=f（x）在[t，t+2]上的最小值g（t）．

Answer 1

解：由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，化簡得：lga-lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0對x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，得（1+lgb）²-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，只有l(wèi)gb=1，不等式成立，即b=10，∴a=100．
（2）f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，
當(dāng)t+2≤-2即t≤-4時(shí)，f（x）在[t，t+2]上遞減，g（t）=f（t+2）=t²+8t+13；
當(dāng)t＜-2＜t+2即-4＜t＜-2時(shí)，g（t）=f（-2）=-3；
當(dāng)t≥-2時(shí)，f（x）在[t，t+2]上遞增，g（t）=f（t）=t²+4t+1；
所以．
分析：（1）由f（-1）=-2得a，b的方程①，由f（x）≥2x即恒成立x²+xlga+lgb≥0對x∈R恒成立，得△=lg²a-4lgb≤0，消掉a得b的不等式，由此可得關(guān)于b的方程，從而得到b值，進(jìn)而得到a值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3，按照對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況分類討論，借助圖象可得其最小值；
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，往往借助圖象加以分析．