Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離，等于它到直線的距離．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)和．

設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得，，

化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為．      

（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．由題意可設(shè)直線的方程為 ，

由得.

.

因?yàn)橹本�與曲線于兩點(diǎn)，所以，．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線的斜率.

所以，直線的方程為，

整理得.于是，直線恒過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過(guò)點(diǎn)．

綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)．        

（Ⅲ），面積.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立，所以面積的最小值為．

【解析】略