Question

選修4-1：幾何證明講
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點（不與點A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

【答案】分析：首先對于（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．
對于（2）求△ABC外接圓的面積．只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．
解答：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)F為AD延長線上一點
∵A，B，C，D四點共圓，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．
（Ⅱ）設(shè)O為外接圓圓心，連接AO交BC于H，則AH⊥BC．
連接OC，由題意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
設(shè)圓半徑為r，則r+r=2+，a得r=2，
外接圓的面積為4π．
故答案為4π．
點評：此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)問題，其中涉及到等腰三角形的性質(zhì)，屬于平面幾何的問題，計算量小但綜合能力較強，需要同學們多練多做題．