Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)的距離之和是4，且曲線C的一條切線交x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為（　�。�

• A、4
• B、2

  2

• C、8
• D、2

Answer 1

分析：先求出曲線C的方程，可得橢圓上任意一點(diǎn)處的切線方程，從而可表示△AOB的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答：解：∵曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)的距離之和是4，
∴C的軌跡是以F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4，c=

3

，
∴a=2，b=1，
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1，
不失一般性，設(shè)橢圓上第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），則由

x2

4

+y2=1，可得y=

1- x2 4

，
∴y′=

-x

2 4-x2

，
∴x=m時(shí)，y′=

-m

2 4-m2

，
∴切線方程為y-n=

-m

2 4-m2

(x-m)，即y-n=

-m

4n

（x-m），即

mx

4

+ny=1，
令x=0，可得y=

1

n

，令y=0，可得x=

4

m

∴△AOB的面積為

1

2

|xy|=

2

|mn|

，
∵

m2

4

+n2=1≥2

m2 4 •n2

=|mn|，
∴|mn|≤1，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n時(shí)取等號，
∴△AOB的面積為

2

|mn|

≥2，
∴△AOB的面積的最小值為2．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，確定橢圓方程是關(guān)鍵．