Question

【題目】在△ABC中，已知C= ，向量 =（sinA，1）， =（1，cosB），且 ．
（1）求A的值；
（2）若點D在邊BC上，且3 = ， = ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（sinA，1）， =（1，cosB），且 ⊥ ，

∴sinA+cosB=0，

又C= ，A+B+C=π，

∴sinA+cos（ ﹣A）=0，即sinA﹣ cosA+ sinA=sin（A﹣ ）=0，

又0＜A＜ ，∴A﹣ ∈（﹣ ， ），

∴A﹣ =0，即A=

（2）解：設(shè)| |=x，由3 = ，得| |=3x，

由（1）知A=C= ，

∴| |=3x，B= ，

在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，

解得：x=1，

∴AB=BC=3，

則S△ABC= BABCsinB= ×3×3×sin =

【解析】（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，根據(jù)C的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理表示出B，代入得出的關(guān)系式中計算即可求出A的度數(shù)（2）設(shè)| |=x，由3 = ，得| |=3x，由A的度數(shù)與C度數(shù)相等，可得出| |=3x，B= ，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與BC的長，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．