Question

已知函數(shù)，，．

（1）若在存在極值，求的取值范圍；

（2）若，問(wèn)是否存在與曲線和都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并求出公切線方程，若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在一條公切線，切線方程為：

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 依題有：則在上有變號(hào)零點(diǎn)；

令，則

當(dāng)，則；當(dāng)，則

因此，在處取得極小值。            3分

而，，

易知，

①當(dāng)存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，，可得：

②      當(dāng)存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，，可得：

綜上，當(dāng)在上存在極值時(shí)，的范圍為：       6分

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，，

易知是與的一個(gè)公共點(diǎn)。

若有公共切線，則必為切點(diǎn)，∵，∴

可知在處的切線為

而，∴則

可知在處的切線也為

因此，存在一條公切線，切線方程為：。          12分

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性極值最值

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某區(qū)間有極值，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)最大值最小值一正一負(fù)，第二問(wèn)找到兩函數(shù)的公共點(diǎn)是求解的關(guān)鍵，只需求在該點(diǎn)處的兩條切線看其是否相同