Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)N在軸上．
（I）求證：PF⊥FD；
（II）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；
（III）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，利用線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線(xiàn)面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，進(jìn)而可得PF⊥FD；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，由此可確定G點(diǎn)位置，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）確定∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接FN，確定∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，進(jìn)而可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=DF=

又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，PF?平面PAF
∴DF⊥PF；
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH=
再過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=AP，
∴平面GEH∥平面PFD，∴EG∥平面PFD．
從而滿(mǎn)足AG=AP的點(diǎn)G即為所求；
（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1
取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，
在平面PAD中，過(guò)M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，所以∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽R(shí)t△PAD，
∴=，
∵PA=1，MD=1，PD=，且∠FMN=90°
∴MN=，F(xiàn)N=，cos∠MNF==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考查線(xiàn)面平行，考查面面角，解題關(guān)鍵是熟練掌握空間線(xiàn)面關(guān)系的判定，性質(zhì)，正確作出面面角．