Question

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2

B

2

=

3

sinB，b=1
（1）若A=

5π

12

，求邊c的大��；
（2）若a=2c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將已知等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，變形后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再由A的度數(shù)，利用三角形的內角和定理即可求出C的度數(shù)，由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理即可求出c的值；
（2）由B的度數(shù)，求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，將b=1，a=2c及cosB的值代入求出c的值，進而求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵2cos²

B

2

=

3

sinB，∴1+cosB=

3

sinB，
∴2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，即2sin（B-

π

6

）=1，
∴B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

（舍），解得：B=

π

3

，（3分）
又A=

5π

12

，則C=

π

4

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，得c=

bsinC

sinB

=

6

3

；（6分）
（2）∵B=

π

3

，∴sinB=

3

2

，cosB=

1

2

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
將b=1，a=2c，cosB=

1

2

代入，解得：c=

3

3

，則a=

2 3

3

，（8分）
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 3

3

×

3

3

sin

π

3

=

3

6

．（10分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．