Question

（滿分12分）設(shè)是拋物線（p>0）的內(nèi)接正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），其面積為；點(diǎn)M是直線：上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的切線MP、MQ，P、Q為切點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由；

（3）求MPQ面積的最小值及相應(yīng)的直線PQ的方程．

 

Answer 1

【答案】

（１）； （２）直線ＰＱ過定點(diǎn)；

（３）

即，ＭＰＱ面積有最小值．此時直線ＰＱ的方程是：．．

【解析】本試題主要是考查了拋物線的方程的求解，以及直線方程的求解，和三角形面積的最值的求解的綜合運(yùn)用。

（1）利用其性質(zhì)得到拋物線的方程；

（2）假設(shè)直線PQ過定點(diǎn)，那么分析其方程的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

（3）結(jié)合三角形的面積公式，而控制得到直線與拋物線聯(lián)立方程組的思想表示弦長，然后得到求解。

解：（１）．因?yàn)檎?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414493576324508/SYS201208241450174022639834_DA.files/image009.png">面積是，設(shè)邊長為，

則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１＇

又設(shè)，，

，

，所以點(diǎn)Ａ,Ｂ關(guān)于軸對稱，．．．．．．．．．．．．．．２＇

于是令可得，拋物線方程是：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇

（２）．設(shè)，切點(diǎn)，則切線ＭＰ:，ＭＱ：，相較于Ｍ,所以，可得直線ＰＱ的方程：

當(dāng)時，與無關(guān)，所以直線ＰＱ過定點(diǎn)；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇

（３）. 設(shè)，，由（２）知直線PQ的方程是：，

，

，．．．．．．．．．．．．．１０＇

又點(diǎn)M到直線PQ的距離為，

所以．．．．12＇

即，ＭＰＱ面積有最小值．此時直線ＰＱ的方程是：．．