Question

把公差為2的等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)依次插入等比數(shù)列{b_n}的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、…第n項(xiàng)后，得到數(shù)列{c_n}：b₁，a₁，b₂，a₂，b₃，a₃，b₄，a₄，…，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知c₁=1，c₂=2，S₃=．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的第2010項(xiàng)c₂₀₁₀；
（3）設(shè)T_n=2010•b_n+a_n，閱讀框圖寫(xiě)出輸出項(xiàng)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，b₁=1，a₁=2，
，故…（1分）
所以a_n=2n，…（2分），總計(jì)（3分）
（2）數(shù)列{c_n}中的第2010項(xiàng)即數(shù)列{a_n}中的第1005項(xiàng)，
于是c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；…（3分）
（3）由于
所以
∴=
當(dāng)n＞5時(shí)T_n+1-T_n＞0{S_n}遞增
當(dāng)n≤5時(shí)T_n+1-T_n＜0{S_n}遞減
通過(guò)計(jì)算T₄=39.41，T₅=17.85，T₆=13.96，T₇=14.49，T₈=16.12
所以滿(mǎn)足條件T_n＜15的項(xiàng)只有兩項(xiàng)：T₆，T₇…（4分）
分析：（1）根據(jù)題意，c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，再根據(jù)S₃可以計(jì)算出，從而得出等比數(shù)列{b_n}的公比，最后根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}中各項(xiàng)的特征：{c_n}中的第2k（k為正整數(shù)）項(xiàng)即數(shù)列{a_n}中的第k項(xiàng)，從而得出c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；
（3）由（1）中{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式，得出，得出T_n+1的表達(dá)式，通過(guò)計(jì)算T_n+1與T_n+的差，
發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＞5時(shí)T_n+1-T_n＞0，{S_n}遞增，當(dāng)n≤5時(shí)T_n+1-T_n＜0，{S_n}遞減滿(mǎn)．由以上分析可得：滿(mǎn)足條件T_n＜15的項(xiàng)只有兩項(xiàng)：T₆，T₇．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于難題．深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系，準(zhǔn)確運(yùn)用通項(xiàng)公式，研究數(shù)列的單調(diào)性，是解決本題的關(guān)鍵．