Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知sin(2A+

π

6

)=

1

2

，b=1，△ABC的面積為

3

2

，則

b+c

sinB+sinC

的值為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)sin(2A+

π

6

)=

1

2

解出A=

π

3

，利用三角形的面積公式算出c=2．根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子算出c=

3

，最后利用正弦定理加以計算，即可得到答案．

解答：解：∵sin(2A+

π

6

)=

1

2

，A∈（0，π）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，可得A=

π

3

∵b=1，△ABC的面積為

3

2

，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

2

，即

1

2

×1×c×sinA=

3

2

，解之得c=2
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2cos

π

3

=3
∴c=

3

（舍負(fù)）
根據(jù)正弦定理，得

b+c

sinB+sinC

=

a

sinA

=

3

sin π 3

=2
故答案為：2

點評：本題著重考查了特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．