Question

在平面四邊形ABCD中，向量

a

=

AB

=(4，1)，

b

=

BC

=(3，-1)，

c

=

CD

=(-1，-2)．
（Ⅰ）若向量(

a

+2

b

)與向量(

b

-k

c

)垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）若

DB

=m

DA

+n

DC

，求實(shí)數(shù)m，n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量(

a

+2

b

)與向量(

b

-k

c

)垂直可知兩向量的數(shù)量積為0，建立方程，解之即可求出k的值；
（II）根據(jù)

BD

=

BC

+

CD

求出

BD

的坐標(biāo)，然后根據(jù)

AD

=

AB

+

BC

+

CD

求出

AD

的坐標(biāo)，最后根據(jù)

DB

=m

DA

+n

DC

，建立關(guān)于m，n的方程組，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵向量(

a

+2

b

)與向量(

b

-k

c

)垂直
∴(

a

+2

b

)•(

b

-k

c

)=0…（2分）
∴（10，-1）•（3+k，-1+2k）=0
∴30+10k+1-2k=0∴k=-

31

8

…（5分）
（Ⅱ）

BD

=

BC

+

CD

=(2，-3)，∴

DB

=(-2，3)…（7分）

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(6，-2)∴

DA

=(-6，2)，

DC

=(1，2)…（9分）
∵

DB

=m

DA

+n

DC

，
∴（-2，3）=m（-6，2）+n（1，2）
∴

-2=-6m+n 3=2m+2n

∴m=

1

2

，n=1…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．