Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．若

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

（1）用基底{

a

 ， 

b

 ，

c

}表示向量

BM

；
（2）求向量

AC1

的長度．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

），把已知的條件代入化簡可得結果．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出基底中每個向量的模以及每兩個向量的數(shù)量積，由 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

B1D1

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

）=

c

+

1

2

(

b

-

a

)，
故

BM

=-

1

2

a

+

1

2

b

+

c

．-------（6分）
（2）由條件得 |

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3． 

a

•

b

=0，

a

•

c

=

3

2

，

b

•

c

=3．-------（9分）

AC1

=

a

+

b

+

c

．------（11分）
故 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

=

23

．------（15分）

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，向量的模的定義，求向量的模的方法，屬于基礎題．