Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（x，y）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)l的方程為xx+3yy-6=0．
①求證：直線(xiàn)l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)；
②若點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，求證：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B的坐標(biāo)代人橢圓的方程即可解得a²，b²；
（2）①把直線(xiàn)l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，證明△=0即可；
②把直線(xiàn)l的方程為xx+3yy-6=0與過(guò)點(diǎn)F且與直線(xiàn)l垂直的方程為3yx-xy+6y=0聯(lián)立即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，得到直線(xiàn)PQ的方程即可證明．
解答：解：（1）由題意得解得
所以所求橢圓C的方程為．
（2）聯(lián)立，消去y得（*）
由于點(diǎn)P（x，y）在橢圓C上，∴，化為．
故（*）可化為．
∵．
所以方程組僅有一組解（x，y），即直線(xiàn)與橢圓有唯一公共點(diǎn)．
②點(diǎn)F（-2，0），過(guò)點(diǎn)F且與直線(xiàn)l垂直的方程為3yx-xy+6y=0．
解方程，得，
因?yàn)镻（x，y）在橢圓，∴，所以解即為．
所以點(diǎn)F（-2，0）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Q．
當(dāng)x≠2時(shí)，=．
所以直線(xiàn)PQ的方程為．
即（x-2）y-yx+2y=0．
∴，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)M（2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、軸對(duì)稱(chēng)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．