Question

如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h．
（1）求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時用的最少時間是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閅軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，我們易得到到h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由60秒轉(zhuǎn)動一圈，我們易得點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們將t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．
解答：解：（1）以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ-，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為
（4.8cos，4.8sin），
∴h=5.6+4.8sin．
（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，
∴h=5.6+4.8sin，t∈[0，+∞）．
到達(dá)最高點(diǎn)時，h=10.4m．
由sin=1
得t-=，
∴t=30
∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時，用的時間最少為30秒．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，在建立函數(shù)模型的過程中，以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閅軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是解答的關(guān)鍵．