Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且2Sn=（an﹣1）（an+2），
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Tn ， 試比較Tn與 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，2a1=2S1=（a1﹣1）（a1+2），

∵a1＞0，∴a1=2．

n=2時(shí)，2S2=（a2﹣1）（a2+2）=2（2+a2），

解得a2=3．

當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

∴an=n+1；

（2）解：∵ = = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣2，

Tn﹣ = ﹣2﹣

= ，

當(dāng)n＜17且n為正整數(shù)時(shí)，

＜0，∴Tn＜ ；

當(dāng)n=17時(shí)，

=0，∴Tn= ；

當(dāng)n＞17且n為正整數(shù)時(shí)，

＞0，∴Tn＞ ．

【解析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 可得an=n+1；（2）求得 = = ﹣ ，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得Tn ， 再由作差法，討論n的范圍，即可得到大小關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．