Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+1）e^x，g（x）=（b+2）x²．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線恰與曲線y=g（x）相切，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=b＜0，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，與y=g（x）聯(lián)立，利用判別式，可求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=（x²+3x+2）e^x，…（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=1，∴切線為：y=2x+1，…（4分）
由

y=2x+1 y=(b+2)x2

得：（b+2）x²-2x-1=0，
∴△=4+4（b+2）=0得：b=-3…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=（x+1）（x+b+1）e^x=0得：x=-1或x=-1-b，…（7分）
∵b＜0，∴-1-b＞-1
①當(dāng)-1-b≥1，即b≤-2時(shí)，在[-1，1]上，f'（x）≤0，此時(shí)f（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=（b+2）e，此時(shí)g（x）_max=g（0）=0，
∴（b+2）e≥0，得：b≥-2．
∴b=-2…（10分）
②當(dāng)-1-b＜1，即-2＜b＜0時(shí)，f（x）在（-1，-1-b）單調(diào)遞減，（-1-b，1）單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(-1-b)=(b+2)e-1-b，g（x）_max=g（±1）=b+2，
∴（b+2）e^-1-b≥b+2，得：e^-1-b≥1，∴-2＜b≤-1…（13分）
綜上可知：-2≤b≤-1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，利用f（x）_min≥g（x）_max，是解題的關(guān)鍵．