Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的方程為：，動點在橢圓上，為原點，線段的中點為.

（1）以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，求點的軌跡的極坐標方程；

（2）設直線的參數方程為（為參數），與點的軌跡交于、兩點，求弦長.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)先由相關點法求出點的軌跡方程，再由極坐標與直角坐標轉化的公式，即可得出結果；

(2)將直線的參數方程代入點的普通軌跡方程，得到關于的一元二次方程，由韋達定理和即可求出弦長.

（1）設點的坐標為，為線段的中點，

點的坐標為．

由點在橢圓上得，

化簡得點的軌跡的直角坐標方程為①

將，，代入①得，

化簡可得點的軌跡的極坐標方程為．

（2）（法一）把直線參數方程 (為參數)代入①得，

化簡得：

設、兩點對應的參數分別為，，由直線參數方程的幾何意義得

弦長．

（法二）由直線參數方程 (為參數)知，直線過極點，傾斜角為，

直線的極坐標方程為．

由解得：和

弦長．

（法三）由直線參數方程 (為參數)知，

直線的普通方程為，

聯立解得和

弦長．