Question

已知函數(shù)f（x）=kx³-3（k+1）x²-2k²+4，若f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，4）．
（1）求k的值；
（2）對任意的t∈[-1，1]，關(guān)于x的方程2x²+5x+a=f（t）總有實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，4），可求k的值；
（2）分別依據(jù)三次函數(shù)與二次函數(shù)的最值，從而可建立不等式，進而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，f′（x）=3kx²-6（k+1）x
∵f′（4）=0，∴k=1
（2）f′（t）=3t²-12t
∴-1＜t＜0，f′（t）＞0，0＜t＜1，f′（t）＜0
∵f（-1）=-5，f（1）=-3
∴f（t）≥-5
∵2x²+5x+a≥

8a-25

8

∴

8a-25

8

≤-5
∴a≤-

15

8

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，其中根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間建立方程是解答本題的關(guān)鍵．