Question

如圖,四棱錐P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點,又二面角P-CD-B為45°.

(1)求證:AF∥平面PEC;

(2)求證:平面PEC⊥平面PCD;

(3)設(shè)AD=2,CD=2,求點A到平面PEC的距離.

Answer 1

剖析:對問題(1),關(guān)鍵是證明AF與平面PEC內(nèi)的一條直線平行,為此可取PC的中點G,論證AF∥EG;對問題(2),可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直;對問題(3),可轉(zhuǎn)化為求點F到平面PEC的距離,進而可以充分運用(2)的結(jié)論.

(1)證明:取PC的中點G,連結(jié)EG、FG.

    ∵F是PD的中點,

    ∴FG∥CD且FG=CD.

    而AE∥CD且AE=CD,

    ∴EA∥GF且EA=GF,

    故四邊形EGFA是平行四邊形,從而EG∥AF.

    又AF平面PEC,EG平面PEC,

    ∴AF∥平面PEC.

(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,

    ∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

    又CD⊥AD,

    ∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.

    ∴∠ADP=45°,則AF⊥PD.

    又AF⊥CD,PD∩CD=D,

    ∴AF⊥平面PCD.

    由(1),EG∥AF,

    ∴EG⊥平面PCD.

    而EG平面PEC,

    ∴平面PEC⊥平面PCD.

(3)解:過F作FH⊥PC交PC于點H,又平面PEC⊥平面PCD,則FH⊥平面PEC,

    ∴FH為點F到平面PEC的距離,而AF∥平面PEC,故FH等于點A到平面PEC的距離.

在△PFH與△PCD中,

    ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC為公共角,

    ∴△PFH∽△PCD,=.

    ∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,

    ∴FH=·2=1.

    ∴點A到平面PEC的距離為1.