Question

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf^/（x）＞f（x）在x＞0時恒成立．
（1）求證：函數(shù)g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求證：當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）；
（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：①利用商的導(dǎo)數(shù)法則求g(x)=

f(x)

x

的導(dǎo)數(shù)，由已知知其大于0，所以單增．
②利用①的結(jié)論及x₁+x₂＞x₂，和x₁+x₂＞x₁，證出不等式
③與正整數(shù)有關(guān)的命題用數(shù)學(xué)歸納法證

解答：解：（1）由g(x)=

f(x)

x

得g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

，因為xf^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0時恒成立，所以函數(shù)g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)g(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，
有

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

成立，（5分）
從而f(x1)＜

x1

x1+x2

f(x1+x2)，f(x2)＜

x2

x1+x2

f(x1+x2)，
兩式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推廣到一般情況為：
若x_i＞0（i=1，2，3n），則f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）當(dāng)n=2時，有（2）已證成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么當(dāng)n=k+1時，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即當(dāng)n=k+1時也成立．
有（1）（2）可知不等式對一切n∈N，n≥2時都成立．（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；利用當(dāng)調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法證不等式