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          在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2
          		3
          的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．
          （1）求證：A1A⊥BC；
          （2）當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí)，求二面角A1-AC-B的余弦值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）根據(jù)三垂線定理證明線線垂直即可；
          （2）利用三垂線定理作二面角的平面角，再解三角形求解．
          解答：解：（1）證明：連接AO，
          A1O⊥面ABC，AO是A1A在面ABC的射影，∵AO⊥BC，
          由三垂線定理，A1A⊥BC．
          （2）由（1）知，∠A1AO為AA1與底面所成的角，∴∠A1AO=45° 
          ∵底面是邊長為2
          		3
          的正三角形，∴AO=3
          ∴A1O=3，AA1=3
          		2

          過O作OE⊥AC于E，連接A1E，由三垂線定理得A1E⊥AC，
          ∴∠A1EO為二面角A1-AC-B的平面角
          ∵OE=
          3
          2
          ，∴tan∠A1EO=
          A1O
          OE
          =2，
          cos∠A1EO=
          		5
          5

          即二面角A1-AC-B的余弦值為
          		5
          5
          ．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角．可利用三垂線定作二面角的平面角．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示，其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形，在俯視圖△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，cos∠A1=
          35
          ．
          （1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：BC⊥AC1；
          （2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是底邊AB的中點(diǎn)，求證：AC1∥平面CDB1．
          （3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
          AA13
          =a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
          （Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
          （Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
          		5
          ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O．
          （1）求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；
          （2）求二面角A-BC1-B1的余弦值；
          （3）若M，N分別為直線AA1，B1C上動(dòng)點(diǎn)，求MN的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
          		5
          ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O．
          （1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長；
          （2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•北京）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
          （Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
          （Ⅱ）求證二面角A1-BC1-B1的余弦值；
          （Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求
          BDBC1
          的值．
          

			
          

			
          
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