Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（x∈R）．
（I）當(dāng)a=1時，求f（x）的極小值；
（II）若對于任意的x∈[0，+∞），總有f（x）≥3ax²，求a的取值范圍；
（III）設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（x）的極小值；
（II）分類討論，利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍；
（III）因為g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．對a分類討論，確定函數(shù)的解析式與單調(diào)性，即可求得最值．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時，f′（x）=3x²-3
令f′（x）=0，可得x=±1
∴當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1]、[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）的極小值為f（1）=-2；
（II）由已知x³-3ax≥3ax²，x=0時顯然成立；
x≠0時，有3a≤

x2

x+1

對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，

x2

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-2∈[0，+∞）
∴3a≤0
∴a的取值范圍是（-∞，0]；
（III）因為g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．
（1）當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a；
（2）當(dāng)a＞0時，f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

）
①當(dāng)

a

≥1，即a≥1時，g（x）=-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1；
②當(dāng)0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增
1°當(dāng)f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，g（x）=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞增，在[

a

，1]上單調(diào)遞減
∴F（a）=-f（

a

）=2a

a

；
2°當(dāng)f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

時，
若-f（

a

）≤f（1）=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a；
若-f（

a

）＞f（1）=1-3a，即

1

4

＜a≤

1

3

時，F(xiàn)（a）=-f（

a

）=2a

a

綜上，F(xiàn)（a）=

1-3a，a≤ 1 4 2a a ， 1 4 ＜a＜1 3a-1，a≥1

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分離參數(shù)法的運用，難度較大．