Question

（09年湖北五市聯(lián)考理）（14分）

已知拋物線的準(zhǔn)線方程，與直線在第一象限相交于點(diǎn)，過(guò)作的切線，過(guò)作的垂線交x軸正半軸于點(diǎn)，過(guò)作的平行線交拋物線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，過(guò)作的垂線交x軸正半軸于點(diǎn)，…，依此類推，在x軸上形成一點(diǎn)列，，，…，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

   （Ⅰ）試探求關(guān)于的遞推關(guān)系式；

   （Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

解析：（I）由題意知：　　　　　　　（１分）

    由題意知聯(lián)立得：，.

       　　　（３分）

    切線的斜率為，直線的斜率，

    直線的方程為

    令，得：                          （５分）

    （Ⅱ）由已知易得，直線的斜率，

直線的方程為：令得        　　　      （７分）

      　　　　   （９分）

 

當(dāng)時(shí) ，即： 

當(dāng)時(shí)，   　　

　　�。�11分）

(用數(shù)學(xué)歸納法證明亦可)

（III）由（II）知：.

.                                                                                                     (14分)