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        1. 在直角坐標(biāo)平面上,O為原點(diǎn),M為動(dòng)點(diǎn),.過點(diǎn)M作MM1⊥y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,.記點(diǎn)T的軌跡為曲線C,點(diǎn)A(5,0)、B(1,0),過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在A與P之間).
          (Ⅰ)求曲線C的方程;
          (Ⅱ)是否存在直線l,使得|BP|=|BQ|,并說明理由.
          【答案】分析:(1)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x',y'),進(jìn)而可知點(diǎn)M1的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)和N1的坐標(biāo),進(jìn)而表示出,進(jìn)而代入求得x和x'的關(guān)系,y和y'的關(guān)系,代入中求得x和y的關(guān)系,曲線C的方程可得,判斷出曲線C是橢圓.
          (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓C無交點(diǎn),所以直線l斜率存在,并設(shè)為k.直線l的方程為y=k(x-5),直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y根據(jù)判別式大于0求得k的范圍,設(shè)交點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為R(x,y),進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2,進(jìn)而求得R的坐標(biāo),根據(jù)|BP|=|BQ|推斷BR⊥l,進(jìn)而可知k•kBR=-1,進(jìn)而建立等式整理得20k2=20k2-4,結(jié)論不可能成立,進(jìn)而判斷不存在直線l,使得|BP|=|BQ|.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x',y'),則M1的坐標(biāo)為(0,y'),,于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為,N1的坐標(biāo)
          ,所以

          由此得
          ,
          即所求的方程表示的曲線C是橢圓.
          (Ⅱ)點(diǎn)A(5,0)在曲線C即橢圓的外部,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓C
          無交點(diǎn),所以直線l斜率存在,并設(shè)為k.直線l的方程為y=k(x-5).
          由方程組
          依題意
          當(dāng)時(shí),設(shè)交點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為R(x,y),

          又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k•kBR=-1,
          ,
          而20k2=20k2-4不可能成立,所以不存在直線l,使得|BP|=|BQ|.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系.當(dāng)涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),常需要把直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得答案.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          OM
          |=
          5
          ,
          ON
          =
          2
          5
          5
          OM
          .過點(diǎn)M作MM1⊥y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,
          OT
          =
          M1M
          +
          N1N
          .記點(diǎn)T的軌跡為曲線C,點(diǎn)A(5,0)、B(1,0),過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在A與P之間).
          (Ⅰ)求曲線C的方程;
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          (Ⅰ)求曲線C的方程;

          (Ⅱ)證明不存在直線,使得;

          (Ⅲ)過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S,若,證明

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