Question

設(shè)f（x）=

1+x

1-x

，又記f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，則f₂₀₀₉（x）=（　�。�

• A、-

  1

  x

• B、x
• C、

  x-1

  x+1

• D、

  1+x

  1-x

Answer 1

分析：先由f（x）=

1+x

1-x

以及f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），求出f_k（x）的前幾項(xiàng)，得到其周期為4，即可求得結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閒（x）=

1+x

1-x

，且f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），
所以有：f₂（x）=f（f₁（x））=f（

1+x

1-x

）=

1+ 1+x 1-x

1- 1+x 1-x

=-

1

x

；
f₃（x）=f（f₂（x））=f（-

1

x

）=

1- 1 x

1+ 1 x

=

x-1

x+1

；
f₄（x）=f（f₃（x））=f（

x-1

x+1

）=

1+ x-1 x+1

1- x-1 x+1

=x．
所以f_k（x）的周期為4，又2009=4×1002+1
故f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1-x

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于由前幾項(xiàng)得到其循環(huán)周期為4．