Question

      (本題滿分12分）如圖1,E, F, G分別是邊長為2的正方形ABCD所在邊的中點(diǎn)，沿EF將CEF截去后，又沿EG將多邊形折起，使得平面DGEF丄平面ABEG得到如圖2所示的多面體.

(1) 求證：FG丄平面BEF₁

(2) 求二面角A-BF-E的大�。�

(3) 求多面體ADG－BFE的體積

Answer 1

解 （1）證明  ∵ 面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，

∴ BE⊥面DGEF，得 BE⊥FG．

又 ∵ GF² + EF² =（）² +（）² = 4 = EG²，

∴ ∠EFG = 90°，有 EF⊥FG．

而 BE∩EF = E，因此 FG⊥平面BEF．     4分

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），于是，=(1,－1,－1)，= (1,1,－1)，= (0,1,－1)．

設(shè)相交兩向量、的法向量為n₁ = (x₁, y₁, z₁)，

則由n₁⊥，得 x₁－y₁－z₁ = 0；由n₁⊥，得 x₁ + y₁－z₁ = 0．

解得 y₁ = 0，x₁ = z₁，因此令 n₁ =（1，0，1）．

事實(shí)上，由（1）知，平面BEF的一個法向量為n₂ =（0，1，1）．

所以 cos< n₁, n₂> =，兩法向量所成的角為，

從而圖2中二面角A－BF－E大小為．……………… 8分

另法  如圖，補(bǔ)成直三棱柱，利用三垂線定理求出二面角H－

BF－E的大小為，進(jìn)而求得二面角A－BF－E的大小為．

（3）連結(jié)BD、BG將多面體ADG－BFE分割成一個四棱

錐B－EFDG和一個三棱錐D－ABG，則多面體的體積

= V_B－EFDG + V_D－ABG．．      ……………… 12分

另法  補(bǔ)成直三棱柱或過F作ADG的平行截面FKM，則

多面體的體積 = V_柱－V_F－BEH = 或 = V_柱 + V_F－BEMK =．