Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*）且a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）若bn=anlog

1

2

an，求證：{b_n}的前n項(xiàng)和S_n≤-2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列是一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把這個(gè)式子分解，變?yōu)閮蓚�(gè)因式乘積的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意數(shù)列是一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，得到a_n+1-2a_n=0，得到數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)．
（2）本題構(gòu)造了一個(gè)新數(shù)列，要求新數(shù)列的和，注意觀察數(shù)列是有一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列乘積組成，需要用錯(cuò)位相減來(lái)求和，求出S_n即可比較與-2的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
（2）由（1）及b_n=anlog

1

2

an得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2≤-2
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)量的遞推關(guān)系，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位．高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏，屬于中檔題．