Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=n•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n可以根據(jù)公式a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意要驗(yàn)證n=1的情況；
（2）把a(bǔ)_n代入c_n=n•a_n，再利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，然后就很容易證明了；
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a₁，a₁=，
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=（a_n）-（a_n-1）=a_n-1-a_n，
即a_n=a_n-1，
又a₁=≠0，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴a_n==（n∈N₊）
（2）由（1）可知C_n=n，
所以T_n=1×+2×+…+（n-1）•+n，①
3T_n=1×+2×+3×+…+n•②，
②-①可得2T_n=1×-n•+1×+1×+…++，
2T_n=1-n+=1-+-，
∴T_n=-＜
點(diǎn)評：此題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，解題過程中用到了錯(cuò)位相減法，這也是高考常用的方法，是一道中檔題，本題計(jì)算量有些大，考查學(xué)生的細(xì)心程度；