Question

攀巖運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)刺激而危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)，如圖（1）在某次攀巖活動(dòng)中，兩名運(yùn)動(dòng)員在如圖所在位置，為確保運(yùn)動(dòng)員的安全，地面救援者應(yīng)時(shí)刻注意兩人離地面的距離，以備發(fā)生危險(xiǎn)時(shí)進(jìn)行及時(shí)救援．為了方便測(cè)量和計(jì)算，畫(huà)出示意圖，如圖（2）所示，點(diǎn)A，C分別為兩名攀巖者所在位置，點(diǎn)B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，點(diǎn)D為山腳，某人在地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED=a，求：
（Ⅰ）點(diǎn)B，D間的距離及點(diǎn)C，D間的距離；
（Ⅱ）在點(diǎn)A處攀巖者距地面的距離h．

Answer 1

分析：（I）分別在Rt△CDE和Rt△BED中利用正切在直角三角形的定義，可得CD=atanγ且BD=atanβ，即得所求距離．
（II）過(guò)A作AH⊥ED于H，則Rt△AEH中算出AE=

h

sinα

，同理BE=

a

cosβ

，最后在三角形ABE中利用正弦定理，可算出點(diǎn)A處攀巖者距地面的距離h．

解答：解：（I）根據(jù)題意，得∠CED=γ，∠ABE=β，∠ADE=α
在Rt△CDE中，tanγ=

CD

DE

，得CD=atanγ
在Rt△BED中，tanβ=

BD

DE

，得BD=atanβ
綜上所述，得點(diǎn)B，D間的距離為atanγ；點(diǎn)C，D間的距離為atanβ；
（II）過(guò)A作AH⊥ED于H，則
Rt△AEH中，AH=h，得sinα=

h

AE

，所以AE=

h

sinα

，
同理，可得BE=

a

cosβ

在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ）
由正弦定理，得

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

，即AE=

BEsin(θ+β)

sin(α+θ)

=

asin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

∴h=AEsinα=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際問(wèn)題，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離并求攀巖處距離地面的距離，著重考查了直角三角形三角函數(shù)的定義和利用正弦定理解三角形的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．