Question

已知實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，或點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，延長MA，NB交于點(diǎn)P．進(jìn)而可推斷出S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB，用a，b分別表示它們的面積整理求得S_△AOB的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式求得ab的范圍，進(jìn)而求得△AOB的面積的取值范圍．

解答：解：∵a²+b²=1 且a＞0，b＞0 則0＜a＜1，0＜b＜1
過點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，或點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，延長MA，NB交于點(diǎn)P．
則S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB
=1-1•

a

2

-1

b

2

-

1

2

（1-a）（1-b）
=

1

2

-

ab

2

∵1=a²+b²≥2ab，∴ab≤

1

2

[當(dāng)a=b=

2

2

2時(shí)等號(hào)成立]
又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴ab＞0
∴-

1

4

≤-

ab

2

＜0
∴

1

4

≤

1

2

-

ab

2

＜

1

2

即

1

4

≤S_△AOB＜

1

2

故答案為：[

1

4

，

1

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與方程的綜合應(yīng)用．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．