Question

（2007•金山區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=

1+ 2 cos(2x- π 4 )

sin(x+ π 2 )

．
（1）化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，求f（x）的定義域，并求出f（x）的最大值和最小值；
（2）若銳角α滿(mǎn)足cosα=

4

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式的分子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，分母利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，約分化簡(jiǎn)后得到最簡(jiǎn)的表達(dá)式，根據(jù)原解析式的分母不為0，得到cosx不為0，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到x的范圍，即為函數(shù)的定義域，同時(shí)把化簡(jiǎn)后的解析式提取2

2

后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值和最小值；
（2）由α為銳角，根據(jù)cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，將sinα和cosα的值代入化簡(jiǎn)后的解析式中即可求出f（α）的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

1+cos2x+sin2x

cosx

=

2cos2x+2sinxcosx

cosx

=2sinx+2cosx …（5分）
f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，…（6分）
又f（x）=2

2

sin（x+

π

4

），…（7分）
f（x）_max=2

2

，f（x）_min=-2

2

；…（9分）
（2）若銳角α滿(mǎn)足cosα=

4

5

，則sinα=

3

5

，…（10分）
則f（α）=2sinα+2cosα=

14

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及正弦、余弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．