Question

已知圓C經(jīng)過點P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率為k且經(jīng)過原點的直線l與圓C交于M、N兩點．點G為弦MN的中點．
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓的一般式方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，將P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)代入解出D=-2，E=-2且F=1，即可得到圓C的一般式方程，再化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可；
（II）設(shè)直線l方程為y=kx，與圓C消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡算出點G（，），結(jié)合算出，再用基本不等式求最值即可得到當(dāng)k=1時，取得最大值，此時直線l的方程為y=x．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
則，解得
∴圓C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成標(biāo)準(zhǔn)形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x，y）
由，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由題意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
，即
∴點
又∵（9分）
∴
∵≤，∴≤2（13分）
因此，可得當(dāng)即k=1時，取得最大值是2（13分）
此時直線l的方程為y=x（14分）
點評：本題給出經(jīng)過三個點的圓，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并研究向量數(shù)量積的最值問題，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．