Question

人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.我們經(jīng)常在報(bào)刊上看到關(guān)于人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào),說(shuō)到本世紀(jì)中葉,全世界(或某地區(qū))人口將達(dá)到多少億.你可能注意到不同的報(bào)刊對(duì)同一時(shí)間的人口預(yù)報(bào)在數(shù)字上有較大的區(qū)別.你知道他們是如何預(yù)測(cè)的嗎?為什么會(huì)有較大的區(qū)別呢?

早在1798年,英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型y=y₀·e^rt,其中t表示時(shí)間,y₀表示t=0時(shí)的人口數(shù),r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.

下面兩個(gè)表格是我國(guó)兩段時(shí)期的人口資料,試分別求出這兩段時(shí)期的人口模型,并進(jìn)行比較,解釋為什么會(huì)不同,并預(yù)測(cè)2010年時(shí)我國(guó)人口總數(shù).

甲                                 1950—1959

年份	1950	1951	1952	1953	1954
人數(shù)(萬(wàn))	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266
年份	1955	1956	1957	1958	1959
人數(shù)(萬(wàn))	61 456	62 828	64 563	65 994	67 207

乙                                 1991—1998

年份	1991	1992	1993	1994
人數(shù)(萬(wàn))	114 333	115 823	117 171	118 517
年份	1995	1996	1997	1998
人數(shù)(萬(wàn))	119 850	121 121	122 389	123 626

Answer 1

解析:設(shè)1950—1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r₁,r₂,…,r₉.由55 196(1+r₁)=56 300,得r₁≈0.020 0.

    同理r₂≈0.021 0,r₃≈0.022 9,r₄≈0.025 0,r₅≈0.019 7,r₆≈0.022 3,r₇≈0.027 6,r₈≈0.022 2,r₉≈0.018 4.

    于是，1950—1959年人口增長(zhǎng)率為r=(r₁+r₂+…+r₉)/9≈0.022 1.

    ∴1950—1959年的人口增長(zhǎng)模型y₁=55 196e^{0.022 1t}(t∈N).

    設(shè)1991—1998年人口增長(zhǎng)率分別為s₁,s₂,…,s₇,

    由114 333(1+s₁)=115 823得s₁≈0.013 0.

    同理s₂≈0.011 6,s₃≈0.011 5,s₄≈0.011 2,s₅≈0.010 6,s₆≈0.010 5,s₇≈0.010 1.

    ∴1991—1998年的人口年平均增長(zhǎng)率為r=(s₁+s₂+…+s₇)/7≈0.011 2.

    ∴1991—1998年的人口增長(zhǎng)模型y₂=114 333e^{0.011 2t},(t∈N).

    后者的人口平均增長(zhǎng)率明顯小于前者,這正說(shuō)明了我國(guó)的計(jì)劃生育政策所起的作用.

    若以模型一預(yù)測(cè)我國(guó)2010年人口數(shù)為y₁=55 196·e^{0.022 1×60}≈207 865.16(萬(wàn)人),

    以模型二預(yù)測(cè)為y₂=114 333·e^{0.011 2×19}≈141 445.59(萬(wàn)人),

    很明顯應(yīng)以1991—1998年的模型預(yù)測(cè)是合理的,到2010年我國(guó)人口預(yù)計(jì)可達(dá)14億.