Question

已知點(diǎn)P為圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，且P不在x軸上，PD⊥x軸，垂足為D，線段PD中點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，過定點(diǎn)M（t，0）（0＜t＜2）任作一條與y軸不垂直的直線l，它與曲線C交于A、B兩點(diǎn)。
（1）求曲線C的方程；
（2）試證明：在x軸上存在定點(diǎn)N，使得∠ANB總能被x軸平分。

Answer 1

解：（1）設(shè)Q（x，y）為曲線C上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P（x，2y）在圓上，
∴，曲線C的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），直線l的方程為x=sy+t，　
代入曲線C的方程，可得，
∵0＜t＜2，
∴，　
∴直線l與曲線C總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部得到此結(jié)論）
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別，則，
要使∠ANB被x軸平分，只要，
即，，
也就是，，
即，即只要（nt-4）s=0，
當(dāng)時(shí)，（*）對任意的s都成立，從而∠ANB總能被x軸平分，
所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得∠ANB總能被x軸平分。