Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1，
(Ⅰ)求曲線C的方程；
(Ⅱ)是否存在正數m，對于過點M(m，0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設P(x，y)是曲線C上任意一點，
那么點P(x，y)滿足，
化簡得y²=4x(x＞0)．
(Ⅱ)設過點M(m，0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設l的方程為x=ty+m，
由，得，
，于是，①
又，
，②
又，
于是不等式②等價于
，③
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜4t²， ④
對任意實數t，4t²的最小值為0，
所以不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，即，
由此可知，存在正數m，對于過點M(m，0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有，
且m的取值范圍是。