Question

【題目】如圖，點(diǎn)為圓：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）這樣的直線不存在.詳見解析

【解析】

（1）設(shè)，，則，，且，通過，轉(zhuǎn)化求解即可．

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，假設(shè)存在點(diǎn)Q，滿足題意，則其充要條件為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2）．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合點(diǎn)Q在曲線上，得到關(guān)于k的方程求解即可．

（1）設(shè)，，

則，，

由題意知，所以為中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

，

即，

又點(diǎn)在圓：上，故滿足

，

得.

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，

設(shè)直線的方程為，

因?yàn)?/span>，故，即 ①，

聯(lián)立，

消去得：，

設(shè)，，

，，

，

因?yàn)?/span>為平行四邊形，故，

點(diǎn)在橢圓上，故，整理得，②，

將①代入②，得，該方程無解，

故這樣的直線不存在.