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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx.
          (1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;
          (2)若對(duì)任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若x1>x2>0,求證:

          【答案】
          (1)解:∵f(x)=lnx,

          ∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1,

          當(dāng)x∈(﹣1,0)時(shí),g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞增;

          當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)<0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

          ∴g(x)在x=0處取得最大值g(0)=0


          (2)解:∵對(duì)任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,

          在x>0上恒成立,

          進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 ,

          設(shè)h(x)= ,則

          當(dāng)x∈(1,e)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0,

          ∴h(x)

          要使f(x)≤ax恒成立,必須a

          另一方面,當(dāng)x>0時(shí),x+ ,

          要使ax≤x2+1恒成立,必須a≤2,

          ∴滿足條件的a的取值范圍是[ ,2]


          (3)解:當(dāng)x1>x2>0時(shí), 等價(jià)于

          令t= ,設(shè)u(t)=lnt﹣ ,t>1

          >0,

          ∴u(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

          ∴u(t)>u(1)=0,


          【解析】(1)先求出g(x)=ln(x﹣1)﹣x(x>﹣1),然后求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間,極值,最值即可求.(2)本小題轉(zhuǎn)化為 在x>0上恒成立,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 ,然后構(gòu)造函數(shù)h(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)研究出h(x)的最大值,再利用基礎(chǔ)不等式可知 ,從而可知a的取值范圍.(3)本小題等價(jià)于 .令t= ,設(shè)u(t)=lnt﹣ ,t>1,由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出u(t)>u(1)=0,由此能夠證明

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.

          在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.

          (1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

          (2)已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E、F分別是棱AA′,CC′的中點(diǎn),過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設(shè)BM=x,x∈[0,1],給出以下四個(gè)命題:
          ①平面MENF⊥平面BDD′B′;
          ②當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí),四邊形MENF的面積最;
          ③四邊形MENF周長l=f(x),x∈0,1]是單調(diào)函數(shù);
          ④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h(x)為常函數(shù);
          以上命題中真命題的序號(hào)為

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義實(shí)數(shù)a,b間的計(jì)算法則如下a△b=
          (1)計(jì)算2△(3△1);
          (2)對(duì)0<x<z<y的任意實(shí)數(shù)x,y,z,判斷x△(y△z)與(x△y)△z的大小,并說明理由;
          (3)寫出函數(shù)y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出該函數(shù)的圖象,并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域(只需要寫出結(jié)果).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x1 , x2均有:(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,則不等式f(x)﹣f(8x﹣16)>0的解集是(
          A.(0,+∞)
          B.(0,2)
          C.(2,+∞)
          D.(2,

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.
          (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
          (2)求曲線f(x)過點(diǎn)(1,0)的切線方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
          (1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),準(zhǔn)線方程為x= 的橢圓;
          (2)過點(diǎn)( ,2),漸近線方程為y=±2x的雙曲線.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣1(a>0,且a≠1),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>0,且函數(shù)g(x)=f(x+1)﹣4的圖象不過第二象限,則a的取值范圍是( )
          A.(1,+∞)
          B.
          C.(1,3]
          D.(1,5]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知圓O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,PM,切點(diǎn)為Q,M,且滿足|PQ|=|PA|.

          (1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系;
          (2)若以P為圓心的圓P與圓O有公共點(diǎn),試求圓P的半徑最小時(shí)圓P的方程;
          (3)當(dāng)P點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí),直線QM是否過定點(diǎn),如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,說明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案