Question

已知直線l與拋物線y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F；
（1）若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，8），求線段AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
（2）求△ABO面積最小時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的方程，代入拋物線方程，求得線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出線段AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
（2）△ABO面積最小時(shí)，AB最短，此時(shí)AB⊥x軸，從而可求直線l的方程．

解答：解：（1）依題意得F（2，0），∴直線AB方程為

y-0

8-0

=

x-2

8-2

，化簡得y=

4

3

(x-2)，
代入y²=8x得2x²-17x+8=0，∴線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

=

17 2

2

=

17

4

，
又準(zhǔn)線方程為x=-2，∴中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離d=

17

4

-(-2)=

25

4

；
（2）設(shè)AB的方程為x=my+2，代入y²=8x，可得y²-8my-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

64m2+64

，∴m=0時(shí)，|y₁-y₂|最小為8，
∵SABO=

1

2

•2|y₁-y₂|，∴m=0時(shí)，△ABO面積最小，此時(shí)AB⊥x軸，
∴面積最小為8，所求直線方程為：x=2．

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．