Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.
(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為＋ln 2.無極大值（2）a＝

(1)∵f(x)＝x²－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，
令f′(x)＞0，得＜x＜e，
f′(x)＜0，得0＜x＜，
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間為.
∴f(x)的極小值為f＝－ln ＝＋ln 2.無極大值．
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2ax－＝.
①當(dāng)a≤0時，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝ (舍去)．
②當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝ ，
(ⅰ)當(dāng)0＜ ＜e，即a＞時，
f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴f(x)_min＝f＝－ln＝3，得a＝.
(ⅱ)當(dāng)≥e，即0＜a≤時，x∈(0，e]時，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝(舍去)，此時f(x)無最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)a＝，使得當(dāng)x∈(0，e]時，f(x)有最小值3.