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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
          (Ⅰ)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點P(2,c)處有相同的切線(P為切點),求a,b的值;
          (Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-
          a
          2
          ,-
          b
          3
          ],求:
          (1)函數(shù)h(x)在區(qū)間(一∞,-1]上的最大值M(a);
          (2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范圍.
          分析:(I)根據(jù)曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(2,c)處具有公共切線,可知切點處的函數(shù)值相等,切點處的斜率相等,故可求a、b的值;
          (II)(1)根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-
          a
          2
          ,-
          b
          3
          ]得出a2=4b,構(gòu)建函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+
          1
          4
          a2x+1,求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而分類討論,確定函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1)上的最大值.
          (2)由(1)知,函數(shù)h(x)在(-∞,-
          a
          2
          )單調(diào)遞增,在(-
          a
          2
          ,-
          a
          6
          )單調(diào)遞減,在(-
          a
          6
          ,+∞)上單調(diào)遞增
          ,從而得出其極大值、極小值,再根據(jù)|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,建立關(guān)于a的不等關(guān)系,解得a的取值范圍即可.
          解答:解:(I)f(x)=ax2+1(a>0),則f'(x)=2ax,k1=4a,g(x)=x3+bx,則f'(x)=3x2+b,k2=12+b,
          由(2,c)為公共切點,可得:4a=12+b  ①
          又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b,
          ∴4a+1=8+2b,與①聯(lián)立可得:a=
          17
          4
          ,b=5.
          (2)由h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+bx+1,
          則h′(x)=3x2+2ax+b,
          因函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-
          a
          2
          ,-
          b
          3
          ],∴當(dāng)x∈[-
          a
          2
          ,-
          b
          3
          ]時,3x2+2ax+b≤0恒成立,
          此時,x=-
          b
          3
          是方程3x2+2ax+b=0的一個根,得3(-
          b
          3
          2+2a(-
          b
          3
          )+b=0,得a2=4b,
          ∴h(x)=x3+ax2+
          1
          4
          a2x+1
          令h'(x)=0,解得:x1=-
          a
          2
          ,x2=-
          a
          6
          ;
          ∵a>0,∴-
          a
          2
          <-
          a
          6
          ,列表如下:
           x  (-∞,-
          a
          2
          -
          a
          2
           (-
          a
          2
          ,-
          a
          6
          -
          a
          6
           (-
          a
          6
          ,+∞
           h′(x) +   -   +
           h(x)    極大值    極小值  
          ∴原函數(shù)在(-∞,-
          a
          2
          )單調(diào)遞增,在(-
          a
          2
          ,-
          a
          6
          )單調(diào)遞減,在(-
          a
          6
          ,+∞)上單調(diào)遞增
          ①若-1≤-
          a
          2
          ,即a≤2時,最大值為h(-1)=a-
          a2
          4
          ;
          ②若-
          a
          2
          <-1<-
          a
          6
          ,即2<a<6時,最大值為h(-
          a
          2
          )=1
          ③若-1≥-
          a
          6
          時,即a≥6時,最大值為h(-
          a
          2
          )=1.
          綜上所述:當(dāng)a∈(0,2]時,最大值為h(-1)=a-
          a2
          4
          ;當(dāng)a∈(2,+∞)時,最大值為h(-
          a
          2
          )=1.
          (2)由(1)知,函數(shù)h(x)在(-∞,-
          a
          2
          )單調(diào)遞增,在(-
          a
          2
          ,-
          a
          6
          )單調(diào)遞減,在(-
          a
          6
          ,+∞)上單調(diào)遞增
          故h(-
          a
          2
          )為極大值,h(-
          a
          2
          )=1;h(-
          a
          6
          )為極小值,h(-
          a
          6
          )=-
          a3
          54
          +1

          ∵|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,又h(0)=1.
          h(-2)≥-3
          h(-
          a
          6
          )≥-3
          -
          1
          2
          a2+4a-7≥-3
          -
          a3
          54
          +1≥-3
          ,解得
          4-2
          2
          ≤a≤4+2
          2
          a≤6

          ∴a的取值范圍:4-2
          2
          a≤6.
          點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)和應(yīng)用分類討論的方法.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時,求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
           

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