Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．
請你寫出一個具有“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)；（只要寫出一個即可）
給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=g^x；②f（x）=x³，③f(x)=cos

π

2

x④f（x）=lnx+1
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

 

．（填上正確的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=g^x存在“穩(wěn)定區(qū)間”
則當0＜g＜1時，g^a=b，g^b=a，
則f（x）=g^x與其反函數(shù)f^-1（x）=log_gx，
有（a，b）與（b，a）兩個交點，
這與指數(shù)函數(shù)與同底的對數(shù)函數(shù)圖象無交點相矛盾，故假設(shè)錯誤，
即f（x）=g^x不存在“穩(wěn)定區(qū)間”
②中，由冪函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f（x）=x³的“穩(wěn)定區(qū)間”；
③中，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f(x)=cos

π

2

x的“穩(wěn)定區(qū)間”；
④中，若f（x）=lnx+1存在“穩(wěn)定區(qū)間”
則lna+1=a，lnb+1=b
即lnx=x-1有兩個解，即函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=x-1的圖象有兩個交點，
這與函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=x-1的圖象有且只有一個交點相矛盾，故假設(shè)錯誤，
即f（x）=lnx+1不存在“穩(wěn)定區(qū)間”
故答案：②③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵．