Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線，過點(diǎn)且與拋物線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，弦和的中點(diǎn)分別為，若，則下列結(jié)論正確的是

（______________）

①的最小值為32

②以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最小值為128

③直線過定點(diǎn)

④焦點(diǎn)可以同時(shí)為弦和的三等分點(diǎn)

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

依題意得直線的斜率均存在，設(shè)，，直線，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義分別求出的表達(dá)式，利用基本不等式求最值即可判斷①；求出四邊形面積的表達(dá)式，利用基本不等式求最值即可判斷②；表示出坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程即可判斷③；假設(shè)點(diǎn)為弦的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)，利用平面向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解，根據(jù)能否推出矛盾判斷④即可.

依題意得直線的斜率均存在，且，

設(shè)，，直線，

聯(lián)立方程，整理可得，

所以，則，

因?yàn)?/span>，以代替可得，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以①正確；

因?yàn)?/span>，所以四邊形的面積，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以②正確；

因?yàn)?/span>，，

所以直線的方程為，

即，恒過定點(diǎn)，故③正確；

若點(diǎn)為弦的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)，

則，所以，

即，又，

解得（舍去），或，

代入，得，與兩直線垂直矛盾，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③