Question

已知線段AB的長為4，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，其中AB∥CD（如圖）則這個(gè)梯形的周長的最大值為（　�。�

• A、8
• B、10
• C、4(

  2

  +1)
• D、以上都不對(duì)

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)∠DOA=θ，(0＜θ＜

π

2

)．作DQ⊥AB，垂足為Q．則DQ=2sinθ，OQ=2cosθ．利用勾股定理及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式可得AD=

QD2+AQ2

=4sin

θ

2

．利用DC∥AB，可得AD=BC．利用倍角公式于是梯形ABCD的周長l=AB+2AD+DC=-8(sin

θ

2

-

1

2

)2+10，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：如圖所示，
設(shè)∠DOA=θ，(0＜θ＜

π

2

)．作DQ⊥AB，垂足為Q．
則DQ=2sinθ，OQ=2cosθ．
∴AQ=2-OQ=2-2cosθ，
∴AD=

QD2+AQ2

=

(2sinθ)2+(2-2cosθ)2

=

4sin2θ+4cos2θ-8cosθ+4

=

8-8cosθ

=

8×2sin2 θ 2

=4sin

θ

2

．
∵DC∥AB，∴AD=BC．
∴梯形ABCD的周長l=AB+2AD+DC
=4+8sin

θ

2

+4cosθ
=8sin

θ

2

+4(1-2sin2

θ

2

)+4
=-8(sin

θ

2

-

1

2

)2+10
當(dāng)且僅當(dāng)sin

θ

2

=

1

2

，即θ=

π

3

時(shí)取等號(hào)．
∴梯形ABCD的周長的最大值為10．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計(jì)算能力，屬于難題．