Question

修建一儲糧倉庫,形狀如圖所示,底部為圓柱形,頂部為半球 形, 倉庫側面的每平方米造價是底面每平方米造價的4倍,頂部的每平方米造價是底面每平方米造價的5.5倍, 已知倉庫底面的每平方米造價為15元,若修建倉庫的總費用為9萬元, 問倉庫底面半徑為多少米時,倉庫的容積最大, 最大容積是多少(π取3計算)?

Answer 1

解:設倉庫底部圓柱的底面半徑為R,高為h,根據(jù)題意,得

15(πR²+4×2πRh+5.5×2πR²)=90000 ,

∴   15(3R²+4×2×3×Rh+5.5×2×3×R²)=90000 ,

3R²+2Rh=500.

倉庫的容積V=πR²h+πR³=3R²h+2R³=-R³+3×250R.

求導,得V′=-R²+3×250.

令V′=0,解得,R=10.

當0<R<10時, V′>0,函數(shù)V=-R³+3×250R單調遞增,當R>10時,

V′<0, 函數(shù)V=-R³+3×250R單調遞減,故當R=10時,V有最大值,且V的最大值為5000.

答:當倉庫的底面半徑為10米時,倉庫的容積最大,最大容積為5000米³