已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，P為橢圓
上任意一點，且
的最小值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）動圓
與橢圓相交于A、B、C、D四點，當
為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.
（1）
；（2）當
時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為
.
解析試題分析：（1）由于
（定值）這個條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個條件可以求出
的值，并由已知條件中
的值可以求出
，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出
、
、、
中其中一個點的坐標
，然后根據(jù)這四點之間的相互對稱性將四邊形
的面積
用該點的坐標進行表示，結(jié)合
這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對應(yīng)的值.
試題解析：（1）因為P是橢圓上一點，所以.
在△
中，
，由余弦定理得
.
因為
，當且僅當
時等號成立.
因為
，所以
.
因為的最小值為，所以
，解得
.
又
，所以
.所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)
，則矩形ABCD的面積
.
因為，所以
.
所以
.
因為
且
，所以當
時，
取得最大值24.
此時
，
.
所以當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.
考點：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)
黃岡天天練口算題卡系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
知橢圓
的離心率為
，定點
，橢圓短軸的端點是
，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設(shè)過點
且斜率不為0的直線交橢圓于
兩點.試問
軸上是否存在異于的定點
，使
平分
？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)橢圓
的左焦點為
，離心率為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，當
面積最大時，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的長軸長為4，且過點
．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)
、
、
是橢圓上的三點，若
，點
為線段
的中點，
、
兩點的坐標分別為
、
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為
的橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右焦點，直線
：x＝－
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓C: 
(a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓
上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
為橢圓
的左，右焦點，
為橢圓上的動點，且
的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓
的方程；
（II）過點
作不與
軸垂直的直線
交該橢圓于
兩點，
為橢圓的左頂點。試判斷
的大小是否為定值，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的右焦點為
，離心率為
．
分別過
，
的兩條弦
，
相交于點
（異于
，
兩點），且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線
，
的斜率之和為定值．
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