Question

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同的兩點(diǎn)，直線l：ax+by+c=0，δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

，以下命題中正確的序號(hào)為

 

．
（1）不論δ為何值，點(diǎn)N都不在直線l上；
（2）若δ=1，則過(guò)M，N的直線與直線l平行；
（3）若δ=-1，則直線l經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)；
（4）若δ＞1，則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長(zhǎng)線相交．

Answer 1

分析：依次分析命題：（1）根據(jù)δ中的分母不為0，即可判斷點(diǎn)N不在直線l上；（2）δ=1時(shí)，分b不等于0和等于0兩種情況考慮，當(dāng)b不為0時(shí)，根據(jù)δ=1，化簡(jiǎn)后得到直線MN的斜率與直線l的斜率相等，且點(diǎn)N不在直線l上，進(jìn)而得到兩直線平行；當(dāng)b為0時(shí)，根據(jù)δ=1推出直線l與直線MN的斜率都不存在，進(jìn)而得到兩直線平行；（3）當(dāng)δ=-1時(shí)，化簡(jiǎn)后得到線段MN的中點(diǎn)滿足直線l的解析式，進(jìn)而得到MN的中點(diǎn)在直線l上；（4）根據(jù)δ大于1，得到ax₁+by₁+c與ax₂+by₂+c同號(hào)且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，進(jìn)而得到點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長(zhǎng)線相交，綜合可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="o1q8vbl" class="MathJye">δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

中，ax₂+by₂+c≠0，所以點(diǎn)N（x₂，y₂）不在直線l上，本選項(xiàng)正確；

（2）當(dāng)b≠0時(shí)，根據(jù)δ=1，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=1，化簡(jiǎn)得：

y2-y1

x2-x1

=-

a

b

，即直線MN的斜率為-

a

b

，
又直線l的斜率為-

a

b

，由（1）知點(diǎn)N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行；
當(dāng)b=0時(shí)，根據(jù)δ=1，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=1，
化簡(jiǎn)得：x₁=x₂，直線MN與直線l的斜率不存在，都與y軸平行，
由（1）知點(diǎn)N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行，
綜上，當(dāng)δ=1，直線MN與直線l平行，本選項(xiàng)正確；

（3）當(dāng)δ=-1時(shí)，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=-1，
化簡(jiǎn)得：a•

x1+x2

2

+b•

y1+y2

2

+c=0，而線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
所以直線l經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)，本選項(xiàng)正確；

（4）當(dāng)δ＞1時(shí)，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到點(diǎn)M與點(diǎn)N到直線l的距離不等，所以延長(zhǎng)線與直線l相交，
本選項(xiàng)正確．
所以命題中正確的序號(hào)為：（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案為：（1）、（2）、（3）、（4）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握一點(diǎn)是否在已知直線上的判別方法，掌握兩直線平行時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．