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          【題目】已知橢圓E: ,不經過原點O的直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓E相交于不同的兩點A、B,直線OA,AB,OB的斜率依次構成等比數列.
          (Ⅰ)求a,b,k的關系式;
          (Ⅱ)若離心率 ,當m為何值時,橢圓的焦距取得最小值?

          【答案】解:(Ⅰ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2), 由直線OA,AB,OB的斜率依次構成等比數列,
          ,
          ,可得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,
          故△=(2a2km)2﹣4(b2+a2k2)(a2m2﹣a2b2)>0,
          即b2﹣m2+a2k2>0,
          又x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

          ,

          又直線不經過原點,所以m≠0,
          所以b2=a2k2即b=ak;
          (Ⅱ)若 ,則 , ,
          又k>0,得 ,
          則x1+x2=﹣ =﹣ m,x1x2= = m2﹣2c2
          |AB|= =
          = ,
          化簡得 (△>0恒成立),
          時,焦距最小
          【解析】(Ⅰ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),運用等比數列的中項的性質,以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理,化簡整理,即可得到b=ak;(Ⅱ)運用離心率公式,可得斜率k,再由弦長公式,結合條件,運用基本不等式即可得到所求最值,以及m的取值.

          練習冊系列答案
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