Question

已知函數(shù)f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在區(qū)間上[1，3]的函數(shù)值大于0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  2

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，

  3

  5

  )
• C、（1，+∞）
• D、(0，

  3

  5

  )

Answer 1

分析：設(shè)g（x）=（

1

a

-2）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（

1

a

-2）x+1是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

．所以(

1

a

-2)x+1＜ 1在區(qū)間上[1，3]恒成立，
所以

1

2

＜a＜

3

5

．

解答：解：設(shè)g（x）=（

1

a

-2）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（

1

a

-2）x+1是定義域上的單調(diào)函數(shù)，
根據(jù)題意得

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在區(qū)間上[1，3]的函數(shù)值大于0恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞0在區(qū)間上[1，3]恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞loga1在區(qū)間上[1，3]恒成立
因?yàn)?＜a＜

3

5

所以(

1

a

-2)x+1＜ 1在區(qū)間上[1，3]恒成立
即(

1

a

-2)x＜0在區(qū)間上[1，3]恒成立
所以

1

a

-2＜0
解得a＞

1

2

所以

1

2

＜a＜

3

5

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1

2

＜a＜

3

5

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的恒成立問題，解決此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化不等式，利用充分條件得出最后的結(jié)果．