Question

Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=2，如圖1，將△ABC置于坐標系中，使BC邊落在y 軸正半軸上，點B位于原點處，點A位于第一象限．將頂點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上向右、向下滑動，當點C與原點重合時停止滑動．
（Ⅰ）①如圖2，若AC=2，B點右滑的距離OB是1，求C點下滑的距離和AC所在的直線解析式；②如圖2，點C繼續(xù)滑動多遠時，C點下滑距離CN與B點右滑距離BM相等；
（Ⅱ）如圖3，在滑動的過程中BC的中點P也隨之移動，求整個過程中P點移動路徑的長度；
（Ⅲ）若AC=

3

4

，求滑動的過程中A到原點O的最大距離以及此時點A的坐標．

Answer 1

分析：（1）①Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC=

BC2-OB2

=

3

，可得C點下滑的距離為2-

3

．利用三角函數(shù)的定義算出∠CBO=∠ACy=60°，得到AC的傾斜角為30°，所以AC的斜率為

3

3

，進而可得AC所在直線的解析式；
②根據(jù)△OBC與△ONM全等，算出ON=OB=1，從而得出CN=

3

-1，所以繼續(xù)滑動的距離為

3

-1時，可使CN=BM；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OP=

1

2

BC=1，從而得到點P在以O為圓心、半徑r=1的圓上運動，由此可得P點的移動路徑是圓心角為直角的圓弧，利用弧長公式即可算出移動路徑的長度；
（3）利用勾股定理算出AP=

5

4

，結合OP=

1

2

BC=1，可得當O、P、A三點共線時，點A到原點的距離距離為OP+PA=

9

4

達到最大值．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)算出OH=3AH，在Rt△OHA中利用勾股定理算出AH、OH的長，進而可得點A的坐標．

解答：解：（1）①如圖2，Rt△OBC中，BC=2，OB=1，
根據(jù)勾股定理，得OC=

BC2-OB2

=

3

，
∴C點下滑的距離d=2-

3

，
又∵Rt△OBC中，tan∠CBO=

OC

OB

=

3

，
∴∠CBO=∠ACy=60°，
可得直線AC的傾斜角為90°-60°=30°，AC的斜率為k=tan30°=

3

3

．
∵直線AC經(jīng)過點C（0，

3

）
∴AC所在的直線解析式為：y=

3

3

x+

3

；
②當C點下滑距離CN與B點右滑距離BM相等時，△OBC≌△ONM，
此時∠CBO=∠MNO=60°，可得ON=OB=1，
∴CN=CO-ON=

3

-1，
即繼續(xù)滑動

3

-1時，可使C點下滑距離CN與B點右滑距離BM相等；　　　　　　　　　　
（2）連接OP，則Rt△OBC中，OP是斜邊BC上的中線，
∴OP=

1

2

BC=1，可得點P在以O為圓心、半徑r=1的圓上運動．
由此可得：P點的移動路徑是以O為圓心、圓心角等于90°的弧，
其長度為L=

90πr

180

=

π

2

；
（3）∵Rt△ACP中，AC=

3

4

，PC=

1

2

BC=1，
∴AP=

AC2+PC2

=

( 3 4 )2+12

=

5

4

；
又∵OP=

1

2

BC=1，OP、AP都是定長
∴當O、P、A三點共線時，A到原點O的距離最大．最大距離為OP+PA=1+

5

4

=

9

4

，
過A作AH⊥y軸，與BC的延長線交于點D，
∵AD∥OB，∴△POB∽△PAD，結合PB=OP得PD=AP=

5

4

由此可得DC=PD-CP=

5

4

-1=

1

4

，
又∵Rt△ACD∽Rt△OHA，AC=

3

4

，
∴

AH

OH

=

DC

AC

=

1

3

，
∵OA=

9

4

，∴OH=3AH，
又∵Rt△OHA中，OA=

OH2+AH2

=

9

4

，
∴AH=

9

40

10

，OH=

27

40

10

，可得點A的坐標（

9

40

10

，

27

40

10

）．

點評：本題給出直角三角形在坐標系內(nèi)滑動的模型，求滑動的過程中A到原點O的最大距離以及此時點A的坐標．著重考查了直線的基本量與基本形式、勾股定理與相似三角形、弧長公式與動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．